¿Qué es paradoja del cumpleaños?

La paradoja del cumpleaños, también conocida como el problema del cumpleaños, es un famoso problema en teoría de la probabilidad que explora la probabilidad de que en un grupo de personas, al menos dos de ellas tengan el mismo cumpleaños.

La paradoja se basa en el hecho de que la mayoría de las personas tienden a subestimar la probabilidad de que ocurra una coincidencia de cumpleaños en un grupo relativamente pequeño de personas. La intuición inicial es que se necesitaría un grupo grande para que dos personas compartan el mismo cumpleaños, pero en realidad la probabilidad es sorprendentemente alta incluso en grupos pequeños.

Supongamos que tenemos un grupo de 23 personas. La pregunta es: ¿cuál es la probabilidad de que al menos dos de esas personas tengan el mismo cumpleaños? Para resolver esto, podemos utilizar el principio de complemento, que consiste en calcular la probabilidad de que no haya coincidencia de cumpleaños y luego restarla de 1.

Si tomamos la primera persona del grupo, no hay nadie más con quien pueda coincidir. La probabilidad de que la segunda persona no tenga el mismo cumpleaños que la primera es de 364/365 (ya que hay 364 días posibles diferentes al cumpleaños de la primera persona). Para la tercera persona, la probabilidad de que no coincida con las dos primeras es de 363/365, y así sucesivamente.

Multiplicando todas estas probabilidades, obtenemos la probabilidad de que ninguna de las 23 personas tenga el mismo cumpleaños: (364/365) * (363/365) * ... * (343/365). Al restar esta probabilidad de 1, obtenemos la probabilidad de que al menos dos personas tengan el mismo cumpleaños. Sorprendentemente, esta probabilidad resulta ser aproximadamente del 50%.

Esto se debe a que en un grupo de 23 personas, hay 253 pares posibles de personas que pueden tener el mismo cumpleaños. Cuanto mayor sea el grupo, mayor será la probabilidad de coincidencia.

La paradoja del cumpleaños demuestra cómo nuestras intuiciones sobre la probabilidad pueden ser engañosas y nos muestra que la probabilidad de una coincidencia es mucho más alta de lo que podríamos pensar inicialmente. Es importante tener en cuenta que esta paradoja se basa en simplificaciones y supuestos, como la distribución uniforme de los cumpleaños a lo largo del año, que pueden no ser completamente precisos en la realidad.